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Wieder eine (besondere) Primzahl | |
Nach dem Primzahl-Jahr 2003 hat die Jahreszahl 2011 wieder diese besondere Eigenschaft. Das ist nicht überraschend, denn im Jahreszahlen-Bereich des 21. Jahrhunderts ist etwa jede siebte Zahl eine Primzahl (die nächste ist die 2017).
Die 2011 hat aber eine besonders kleine Quersumme (2+0+1+1=4). Dies ist der kleinste Wert für ein Primzahl-Jahr seit 810 Jahren (Jahreszahl: 1201), der erst wieder in 990 Jahren mit der Jahreszahl 3001 erreicht werden wird.
Und nachdem die zurückliegenden Jahreszahlen der letzten 10 Jahre fast alle einen Bezug zum Thema Palindromzahlen hatten, lehnt die 2011 dies besonders strikt ab.
Zum Thema Palindrom gibt es weiter unten noch einige Bemerkungen. Hier geht es zunächst um die Quersummen-Besonderheit:
Dass auch kleinere Quersummen für die Jahreszahlen zwischenzeitlich nicht möglich waren bzw. sind, beweisen folgende simple Betrachtungen:
- Eine Quersumme 1 ist unmöglich, weil neben der Ziffer 1
dann nur noch Nullen in der Zahl vorkommen dürften.
Mit einer Null am Ende ist es keine Primzahl, und die
1 ist per Definition keine Primzahl.
- Eine Quersumme 3 ist nur möglich für die Zahl 3 (das ist eine Primzahl). Alle anderen Zahlen mit der Quersumme 3 sind keine Primzahlen, weil sie mindestens durch 3 teilbar sind.
- Die Quersumme 2 ist nur möglich für die Zahl 2 (das ist
eine Primzahl) und Zahlen mit den Ziffern 1 und 1
(und beliebig vielen
Nullen). Eine 1 muss am Anfang, die andere am Ende stehen, so dass
alle Zahlen, die zur Konkurrenz zugelassen sind, die
Form 10...01 haben müssen (also mit
beliebig vielen Nullen zwischen
den Einsen an den Enden).
Hier findet man mit der 11 und der 101 gleich zwei Primzahlen im Bereich der kleinen Zahlen, dann ist es aber zunächst vorbei (1001 = 7·11·13, 10001 = 73·137, ... - siehe Tabelle unten). Zumindest gibt es keine Primzahl dieser Art (wenn es überhaupt eine gibt) im Bereich überschaubarer Jahreszahlen. - Die Quersumme 4 ist (bei beliebigen zusätzlichen Nullen) möglich
mit 5 Ziffernkombinationen: 4, 13, 22, 112 und 1111, wobei
jeweils eine dieser Ziffern am Anfang und Ende der Zahl stehen müssen:
- 4 und 22 scheiden als gerade Zahlen aus.
- Mit den Ziffern 1 und 3 lassen sich z. B. die Zahlen 13, 31, 103 (alles Primzahlen), 301 = 7·43, 1003 = 17·59 und die Primzahl 3001 bilden.
- Mit den Ziffern 1, 1 und 2 lassen sich z. B. die folgenden Zahlen bilden (eine 1 muss am Ende stehen): 211 (Primzahl), 121 = 11·11, 1021, 1201, 2011 (alles Primzahlen) und 2101 = 11·191.
- 1111 = 11·101 ist keine Primzahl.
Fazit: Die nächsten Nachbarn mit der Quersumme 4 zur Jahreszahl 2011 in Vergangenheit bzw. Zukunft sind die 1201 und die 3001, und kleinere Quersummen findet man im Bereich 1201 bis 3001 nicht. Alle gegenwärtig lebenden Menschen erleben mit dem Jahr 2011 ihre Jahreszahl mit der kleinsten Primzahl, die weitaus meisten Menschen wissen das allerdings nicht, und man muss es auch wirklich nicht wissen.
| n | 10n+1 | |
| 1 | 11 | Primzahl |
| 2 | 101 | Primzahl |
| 3 | 1001 | = 7·11·13 |
| 4 | 10001 | = 73·137 |
| 5 | 100001 | = 11·9091 |
| 6 | 1000001 | = 101·9901 |
| 7 | 10000001 | = 11·909091 |
| 8 | 100000001 | = 17·5882353 |
| 9 | 1000000001 | = 17·11·13·19·52579 |
| 10 | 10000000001 | = 101·3541·27961 |
| 11 | 100000000001 | = 11·11·23·4093·8779 |
| 12 | 1000000000001 | = 73·137·99990001 |
| 13 | 10000000000001 | = 11·859·1058313049 |
| 14 | 100000000000001 | = 29·101·281·121499449 |
| 15 | 1000000000000001 | = 7·11·13·211·241·2161·9091 |
| 16 | 10000000000000001 | = 353·449·641·1409·69857 |
| 17 | 100000000000000001 | = 11·103·4013·21993833369 |
| 18 | 1000000000000000001 | = 101·9901·999999000001 |
| ... und wann kommt die
nächste Primzahl in dieser Pyramide? Kommt überhaupt noch eine? |
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Primzahlen mit der Quersumme 2
Neben der Primzahl 2 kann es Primzahlen mit der Quersumme 2 nur in der Form 10n+1 = 10...01 (also Zahlen mit beliebig vielen Nullen zwischen den Einsen an den Enden). Die nebenstehende Tabelle zeigt die beiden Primzahlen für n = 1 und n = 2 und die Zerlegung in Primfaktoren der Zahlen für n = 3 bis n = 18. Und der Schreiber dieser Zeilen weiß keine Antwort auf die Frage:
Wie
lautet die kleinste
Primzahl der Form 10n+1, die größer als 101 ist?
Gibt es sie überhaupt?
Darauf weiß doch ganz bestimmt jemand eine Antwort! Oder?
Sehr viele Fälle können durch Anwendung der bekannten Teilbarkeitsregeln ausgeschlossen werden (zum Begriff "Alternierende Quersumme" siehe die Bemerkungen unten):
- Alle Zahlen 10n+1 mit n = 2·k+1 (k = 0;1;2;...) sind durch 11 teilbar (alternierende Quersumme ist gleich 0) und also keine Primzahlen. Hier greift auch noch eine andere Regel: In einem beliebigen Zahlensystem mit der Basis b sind Palindromzahlen mit gerader Ziffernanzahl durch (b+1) teilbar, der Zahl, die in jedem Zahlensystem als 11 geschrieben wird.
- Alle Zahlen 10n+1 mit n = 16·k+8 (k = 0;1;2;...) sind durch 17 teilbar (alternierende 8er-Quersumme ist gleich 0) und also keine Primzahlen.
- Alle Zahlen 10n+1 mit n = 8·k+4 (k = 0;1;2;...) sind durch 73 teilbar (alternierende 4er-Quersumme ist gleich 0) und also keine Primzahlen.
- Alle Zahlen 10n+1 mit n = 4·k+6 (k = 0;1;2;...) sind durch 101 teilbar (alternierende 2er-Quersumme ist gleich 0) und also keine Primzahlen.
Es verbleibt nur ein kleiner Teil, der nicht durch diese Aussagen abgedeckt wird. Es sind die Fälle für n = 16·(k+1) mit k = 0;1;2... (also n = 16;32;48;64;80;96...). In der nebenstehenden Tabelle ist es nur der Fall n =16, aber auch 1016+1 ist, wie man sieht, keine Primzahl. Und wenn man dies weiß (z. B. durch eine erfolgreiche Primfaktoren-Zerlegung), kann man auf der Basis folgender Teilbarkeitsregel weitere Fälle ausschließen:
Eine Zahl ist durch 10n+1 teilbar, wenn ihre alternierende n-Quersumme durch 10n+1 teilbar ist.
Die alternierende 16er-Quersumme der 49-stelligen Zahl 1048+1 ist Null, also ist 1048+1 durch 1016+1 teilbar und somit keine Primzahl. Die gleiche Aussage gilt natürlich für 1080+1, 10112+1 usw., weil deren 16er-Quersummen auch Null sind. Damit ist schon die Hälfte der mit den oben getroffenen Aussagen nicht erfassten Fälle erledigt.Aber der Fall n = 32 ist damit noch nicht erfasst. Wenn man weiß, dass es keine Primzahl ist (es ist tatsächlich keine), kann man entsprechend der gerade angestellten Überlegung z. B. auch n = 96 ausschließen (wieder die Hälfte des verbliebenen Rests). Offen bleibt die Frage für n = 64.
Die Vermutung drängt sich auf, dass es keine Primzahlen 10n+1 mit n > 2 gibt. Weiß es jemand genau, kennt jemand einen Beweis für diese oder die gegenteilige Aussage?
Zum Begriff "Alternierende Quersumme":
Die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl erhält man, wenn man (mit der Einerstelle beginnend) die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert, Beispiel: Die Zahl 1327260 hat die alternierende Quersumme 0−6+2−7+2−3+1 = −11 (und ist damit durch 11 teilbar).
Die alternierende 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl erhält man, wenn man (von rechts beginnend) die Zahl zunächst in Zweiergruppen unterteilt und dann diese zweistelligen Zahlen (wieder von rechts beginnend) abwechselnd addiert und subtrahiert, Beispiel: Die Zahl 1934352 hat die alternierende 2er-Quersumme 52−43+93−1 = 101 (und ist damit durch 101 teilbar).
Die alternierende n-Quersumme einer natürlichen Zahl erhält man, wenn man (von rechts beginnend) die Zahl zunächst in Gruppen von n Ziffern unterteilt und dann diese n-stelligen Zahlen (wieder von rechts beginnend) abwechselnd addiert und subtrahiert, Beispiel: Die Zahl 7046214589398 hat die alternierende 4er-Quersumme 9398−1458+0462−7 = 8395 (und ist damit durch 73 teilbar, weil 8395 durch 73 teilbar ist).
Für alle natürlichen Zahlen der Form 10n+1 = 10...01 gilt, dass eine alternierende Quersumme (auch jede alternierende n-Quersumme) entweder den Wert 0 (dann ist das jeweilige Teilbarkeitskriterium erfüllt) oder den Wert 2 hat.
2011, eine "Streng nicht-palindromische Zahl"
Zu jeder natürlichen Zahl n (im Dezimalsystem) gibt es mindestens ein Stellenwertsystem, in dem diese Zahl ein Palindrom ist, denn im Stellenwertsystem mit der Basis b = n−1 wird n durch 11 interpretiert, Beispiel: 53 (dezimal) ist im Zahlensystem mit der Basis b = 52 eine 11, weil 1·521+1·520 = 53 ist. Für die meisten natürlichen Zahlen gibt es aber auch noch Stellenwertsysteme mit einer Basis b < n−1, in der die Zahl zum Palindrom wird. Die Jahreszahl 2007 zum Beispiel ist im Hexadezimalsystem das schöne Palindrom 7D7.
Karl Hovekamp, ein Spezialist für Palindrome in unterschiedlichen Zahlensystemen (ein Besuch seiner Seiten lohnt sich) schrieb mir eine (am Neujahrstag inzwischen schon traditionelle) E-Mail, in der er mich darauf aufmerksam machte, dass die 2011 zu den seltenen Exemplaren der "Streng nicht-palindromischen Zahlen" Zahlen gehört und dass erst in 52 Jahren (mit der 2063) wieder eine Jahreszahl mit dieser Eigenschaft fällig ist.
Definition: Eine "Streng nicht-palindromische Zahl" ist eine natürliche Zahl n, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis b im Bereich 2 ≤ b ≤ n−2 liegt.
Über Karl Hovekamps Seite "Palindrome und Primzahlen" erreicht man neben vielen anderen Links zu diesem Thema auch Listen der "Streng nicht-palindromischen Zahlen" und die Aussage, dass bei den natürlichen Zahlen von 1 bis 1000000000 weniger als 2% diese Eigenschaft haben.
